TRIÁNGULO RECTÁNGULO

Triángulo Rectángulo

El triángulo rectángulo es muy importante por las propiedades y aplicaciones que tiene, entre ellas el teorema de Pitágoras que nos permite relacionar los tres lados de un triángulo rectángulo.

.



TRIÁNGULO RECTÁNGULO


Esta clase de triángulo de geometría plana se define así:

"El Triángulo Rectángulo es aquel triángulo que tiene un ángulo reto (90°)".

Es decir, el triángulo rectángulo tiene un ángulo interior que mide noventa grados sexagesimales (90°). En consecuencia los otros dos ángulos internos serán agudos (menores a 90°) y la suma será igual a 90°.

Veamos gráficamente las características y propiedades que se cumplen en el triángulo rectángulo.

Propiedades de los ángulos en un triángulo rectángulo
Propiedades de los lados en un triángulo rectángulo

Sólo en el triángulo rectángulo los lados adoptan nombre especiales, como: cateto e hipotenusa. Al ángulo interno de 90° se le conoce como ángulo recto.

A continuación, veamos los catetos e hipotenusa de un triángulo rectángulo.




CATETOS E HIPOTENUSA


EL cateto e hipotenusa solamente es usado en el triángulo rectángulo y son los lados del triángulo, ellos tienen características distintas y se les puede reconocer fácilmente.
Veámoslo gráficamente:

catetos e hipotenusa

De la figura mostrada, veamos la definición del cateto e hipotenusa.

Los Catetos son aquellos lados del triángulo rectángulo que forma al ángulo recto.
En la figura los Catetos son: Cateto AB y Cateto BC; además son menores (en longitud) a la hipotenusa.

La Hipotenusa es el lado opuesto del ángulo recto.
En la figura la Hipotenusa es: hipotenusa AC .También se le reconoce rápidamente por ser el lado de mayor longitud del triángulo rectángulo.

Existe un teorema que relaciona las longitudes de los catetos e hipotenusa. Es el teorema de Pitágoras, el cual veremos a continuación.




TEOREMA DE PITÁGORAS


El teorema de Pitágoras sólo se aplica en un triángulo rectángulo y nos permite relacionar a los catetos e hipotenusa mediante una ecuación, veamos cómo se define.

El Teorema de Pítágoras define que:

"En todo triángulo rectángulo, el cuadrado de la longitud de la hipotenusa es igual a la suma de cuadrados de las longitudes de los catetos".

Es decir, si las longitudes de los catetos son “a” y “b”; y la hipotenusa “c”, entonces se cumple la siguiente ecuación:

c2 = a2 + b2

Gráficamente:

Definición, concepto del teorema de Pitágoras

El teorema de Pitágoras, es un famoso teorema que se ha estudiado desde la era antigua, los babilonios conocían de su existencia hace más de 3500 años y hasta el día de hoy se enseña en las escuelas por la importancia de su uso, entre ellas, el cálculo de distancias.

Veamos un ejemplo aplicativo para poner en práctica el teorema de Pitágoras.


Ejemplo 01

En el triángulo rectángulo ABC que se muestra calcular el valor del cateto BC.

Ejercicio N° 01

Resolución

"x" es un cateto del triángulo rectánguloABC y se conoce los otros dos lados. Entonces aplicamos el teorema de Pitágoras:

a2 + b2 = c2
12 + x2 = 22
x2 = 22 - 12
x2 = 3
x = ±√3

Se toma el valor positivo. No existe longitud negativa.
por lo tanto x = √3m


Se aprecia en este ejemplo que el teorema de Pitágoras nos permite calcular fácilmente un lado del triángulo rectángulo teniendo como dato los otros dos lados.

En caso de querer reforzar la teoría con aplicaciones del teorema de Pitágoras recomendamos ver la sección ejercicios resueltos.




TIPOS DE TRIÁNGULO RECTÁNGULO


Dentro de la clasificación de triángulos, existen dos tipos de triángulo rectángulo.


a) Triángulo Rectángulo ISÓSCELES

Este tipo de triángulo tiene los catetos de igual longitud, por consiguiente los ángulos agudos serán de igual medida, de 45°. Veamos el gráfico del triángulo rectángulo isósceles.

triángulo rectángulo isósceles

Se aprecia del gráfico que en un triángulo rectángulo isósceles los catetos tienen igual longitud: “a”, los ángulos internos son: 90° - 45° - 45° y la longitud de la hipotenusa aplicando el teorema de Pitágoras será "a√2".
Al triángulo rectángulo isósceles también se le conoce en trigonometría como: Triángulo Notable de 45°.



b) Triángulo Rectángulo ESCALENO

Este tipo de triángulo tiene los tres lados diferentes, por consiguiente los ángulos internos también serán desiguales. Veamos un ejemplo de triángulo rectángulo escaleno:

triángulo rectángulo escaleno

Este es el famoso triángulo rectángulo de lados: 3 - 4 - 5 y el ejemplo más simple de una terna pitágorica: un conjunto de tres números enteros que cumplen el teorema de Pitágoras. Además, es el único triángulo rectángulo con longitudes de lados concecutivos.

Al triángulo rectángulo de lados 3 - 4 - 5 se le conoce también en trigonometría como el tríángulo notable de 37° y 53°.

Dejar presente a manera de observación que NO EXISTE TRIÁNGULO RECTÁNGULO EQUILÁTERO.




PERÍMETRO DE UN TRIÁNGULO RECTÁNGULO


El perímetro de un triángulo rectángulo es igual a la suma de las longitudes de sus lados y es muy fácil de calcularlo.

Observe el siguiente gráfico:

perímetro de un tríiángulo rectángulo

Por ejemplo: Si necesitamos hallar el perímetro del triángulo rectángulo de lados 3 - 4 - 5, lo único que se debe hacer es sumar los valores de los lados, es decir:

Perímetro del triángulo rectángulo= 3+4+5 = 12u

Podrá notar que sumar las longitudes de los lados para calcular el perímetro del triángulo rectángulo en realidad no es un problema. El verdadero problema en estos tipos de ejercicios es hallar los lados y dependiendo de los datos ( del ejercicio) se podrá aplicar el teorema de Pitágoras.




ÁREA DE UN TRIÁNGULO RECTÁNGULO


Para calcular el área de la región del triángulo rectángulo se aplica el mismo principio para cualquier clase de triángulo, o sea:

"ÁREA triángulo= (Base x Altura)/2"

En las siguientes figuras observe como se presenta el triángulo rectángulo y la fórmula del área de la región triangular que se aplica.

área de un triángulo rectángulo.
En este caso, los catetos del triángulo rectángulo ABC son la base "b" y la altura "h".


área de un triángulo rectángulo
Aquí, la hipotenusa del triángulo rectángulo ABC hace de base "b" y la altura "h" es la que se traza desde el ángulo recto.


Así pues, en cualquiera de estos dos casos el área de la región del triángulo rectángulo se cálcula aplicando la fórmula:

"ÁREA triángulo rectángulo= (Base x Altura)/2"