Teorema de Pitágoras
Definición
El Teorema de Pitágoras relaciona los tres lados de un triángulo rectángulo mediante el siguiente enunciado:
«En todo triángulo rectángulo el cuadrado de la longitud de la hipotenusa es igual a la suma de cuadrados de las longitudes de los catetos».
Esta definición, también se puede interpretar de la siguiente manera: si las longitudes de los catetos son “a” y “b”; y la hipotenusa “c”, entonces se cumple la siguiente ecuación de Pitágoras:
c2= a2+ b2
Gráficamente:
Las culturas orientales conocieron las propiedades de dos triángulos rectángulos cuyas medidas de lados son: 3 – 4 – 5 y 5 – 12 – 13.
Sin embargo, se admite que fue Pitágoras quien generalizó y encontró la relación constante entre las longitudes de los lados de un triángulo rectángulo.
Fórmulas del Teorema de Pitágoras
El teorema de Pitágoras establece cómo están relacionados los tres lados en un mediante la ecuación matemática:
c2= a2+ b2
De esta ecuación pitagórica se deducen las siguientes fórmulas:
Estas fórmulas del teorema de Pitágoras se emplean para calcular el cateto o la hipotenusa. Sin embargo, se recomienda tener presente la definición del teorema de Pitágoras y no depender de ellas, pues conociendo: c2= a2+ b2(a y b son los catetos y c la hipotenusa) sería suficiente para poder aplicarlo en los ejercicios del teorema de Pitágoras.
Cómo se puede apreciar, el teorema de Pitágoras nos permite calcular casi inmediatamente y sin esfuerzo la longitud de un lado del triángulo rectángulo conociendo los otros dos lados.
Por ejemplo, supongamos que a = 3 y b = 4 (catetos) y se quiere hallar la hipotenusa.
Entonces debemos aplicar la fórmula del teorema de Pitágoras:
c² = a² + b²
Reemplazando y resolviendo:
⇒ c² = 3² + 4² = 9 + 16 = 25
∴ c = 5
Este es el famoso triángulo rectángulo de lados: «3 – 4 – 5«, omnipresente en las clases de matemáticas de la escuela, y el ejemplo más simple de una terna pitagórica: un conjunto de tres números enteros que cumplen el teorema de Pitágoras.
Veamos a continuación más ejemplos aplicativos al teorema de Pitágoras.
Ejemplos del Teorema de Pitágoras
Aplicar el teorema de Pitágoras en los problemas es muy sencillo. Aprenda cómo hacerlo. ¡Verás lo fácil que es!
Ejemplo 01:
Del triángulo mostrado, calcular el valor del cateto BC.
Resolución:
Sea: «x» es la longitud delcatetoBC del ΔABC y además se conocen los otros dos lados.
Entonces aplicamos el teorema de Pitágoras:
a2+ b2= c2
12+ x2= 22
x2= 22– 12
x2= 3
x = ±√3
Se toma el valor positivo. No existe longitud negativa.
∴x = √3m
Ejemplo 02:
En la figura, a qué distancia está el bote del faro?.
Resolución:
Si reducimos la figura a un triángulo rectángulo tendríamos:
Se observa en el triángulo rectángulo que se pide lahipotenusade longitud «x».
Aplicamos el teorema de pitágoras:
c2= a2+ b2
x2= 1602+ 1202
⇒ x = 200
∴ La distancia del bote al faro es 200m
Ejemplo 03:
Del triángulo mostrado, calcular el valor del cateto BC.
Resolución:
Sea la medida del lado BC = «x» = AB, graficamos el triángulo rectángulo AHB.
c2= a2+ b2x2= 32+ 32x2= 2(32)
⇒ x = 3√2
Entonces, la medida del lado AB es 3√2m
x = ±√3
Se toma el valor positivo. No existe longitud negativa.
∴x = √3m
Revisión
Teorema de Pitágoras
El teorema de pitágoras ha sido muy importante en la evolución de la ciencia. Han pasado más de 2000 años y aún en día se sigue enseñando en las escuelas por la importancia que tiene. Aquí se ha tratado la teoría del Teorema de Pitágoras de forma clara y concisa complementado con una serie de ejemplos prácticos y aplicativos al teorema.
Calificación
- Calidad de la Teoría
- Calidad de Gráficos/Diseño
- Ejemplos y Ejercicios
Muy Bueno, felicitaciones por una buena página.
Muy bueno el legado de Pitágoras que hoy aún nos sirve para hacer algunos cálculos hipotenusa.