Teorema de Pitágoras: Definición, Fórmulas y Ejemplos

¬ŅQu√© es el teorema de Pit√°goras?

El Teorema de Pit√°goras relaciona los tres lados de un tri√°ngulo rect√°ngulo mediante el siguiente enunciado:

¬ęEn todo tri√°ngulo rect√°ngulo el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de cuadrados de los catetos¬Ľ.

De la definición del teorema de Pitágoras:

Si las longitudes de los catetos son ‚Äúa‚ÄĚ y ‚Äúb‚ÄĚ; y la hipotenusa es ‚Äúc‚ÄĚ, entonces se cumple la siguiente f√≥rmula de Pit√°goras:

c2 = a2 + b2

En forma gr√°fica:

Dibujo del Teorema de Pit√°goras
Imagen del teorema de Pit√°goras.

¬°Nota!

Las culturas orientales conocieron las propiedades de dos tri√°ngulos rect√°ngulos cuyas medidas de lados son: 3 – 4 – 5 y 5 – 12 – 13.
Sin embargo, se admite que fue Pitágoras quien generalizó y encontró la relación constante entre las longitudes de los lados de un triángulo rectángulo.


El teorema de Pitágoras establece cómo están relacionados los tres lados de un triángulo rectángulo mediante la ecuación matemática:

c2 = a2 + b2

De esta ecuación pitagórica se deducen las siguientes fórmulas:

ecuaciones de pit√°goras

Estas fórmulas del teorema de Pitágoras se emplean para calcular el cateto o la hipotenusa. Sin embargo, se recomienda tener presente la definición del teorema de Pitágoras y no depender de ellas, pues conociendo: c2 = a2 + b2 (a y b son los catetos y c la hipotenusa) sería suficiente para poder aplicarlo en los ejercicios del teorema de Pitágoras.

El teorema de Pit√°goras nos permite calcular casi inmediatamente y sin esfuerzo la longitud de un lado del tri√°ngulo rect√°ngulo conociendo los otros dos lados.

Ejemplo:

Supongamos que a = 3 y b = 4 (catetos) y se quiere hallar la hipotenusa.

tri√°ngulo rect√°ngulo de catetos 3 y 4

Aplicamos la fórmula del teorema de Pitágoras:

c² = a² + b²

Reemplazando y resolviendo:

⇒  c² = 3² + 4² = 9 + 16 = 25

¬†‚ąī c = 5

Este es el famoso tri√°ngulo rect√°ngulo de lados: ¬ę3 – 4 – 5¬ę, omnipresente en las clases de matem√°ticas de la escuela, y el ejemplo m√°s simple de una terna pitag√≥rica: ¬ęun conjunto de tres n√ļmeros enteros que cumplen el teorema de Pit√°goras¬Ľ.

A continuación, veremos aplicaciones del teorema de Pitágoras.

Ejemplos del Teorema de Pit√°goras

Aplicar el teorema de Pitágoras en los problemas es fácil. Aprenda cómo hacerlo con estos ejemplos.

Ejemplo 01

Del tri√°ngulo mostrado, calcular el valor del cateto BC.

Ejemplo del teorema de pit√°goras

Resolución:

Sea: ¬ęx¬Ľ es la longitud del¬†cateto¬†BC¬†del¬† őĒABC y adem√°s se conocen los otros dos lados.
Aplicamos el teorema de Pit√°goras:

a2 + b2 = c2
12 + x2 = 22
x2 = 22 Р12
x2 = 3
x = ¬Ī‚ąö3

Se toma el valor positivo. No existe longitud negativa.

‚ąī¬†x = ‚ąö3m


Ejemplo 02

En la figura, a qué distancia está el bote del faro?.

Ejemplo 2

Resolución:

Si reducimos la figura a un triángulo rectángulo tendríamos:

teorema de pit√°goras ejemplo 01

 

Lo que nos piden es el valor de la hipotenusa: ¬ęx¬Ľ.
Aplicamos el teorema de pit√°goras:

c2 = a2 + b2
x2 = 1602 + 1202
⇒ x = 200

‚ąī¬†La distancia del bote al faro es 200m


Ejemplo 03

Calcular el valor del cateto BC, si el triángulo ABC es isósceles.

Ejemplo3

Resolución:

Sea la medida del lado BC¬†= ¬ęx¬Ľ = AB, graficamos el tri√°ngulo rect√°ngulo AHB.

Ejemplo 03 del Teorema de PitágorasSe observa: AH = HB por ser triángulo isósceles.
Aplicamos el teorema de pit√°goras:

c2 = a2 + b2
x2 = 32 + 32
x2 = 2(32)

‚áí¬†x = 3‚ąö2

Luego la medida del lado AB es 3‚ąö2m

x = ¬Ī‚ąö3

Se toma el valor positivo. No existe longitud negativa.

‚ąī¬†x = ‚ąö3m


Ejemplo 04

En el tri√°ngulo mostrado calcular el lado BC si cada cuadricula es 1 x 1.

Ejemplo 04

Resolución:

Para hallar BC podemos formar un tri√°ngulo rect√°ngulo, trazando la altura relativa a a AC, observe:

Resolución del ejemplo 04

En el triangulo rect√°ngulo sombreado, BC es la hipotenusa y conocemos los catetos.

Aplicación del teorema de Pitágoras:

BC² = 5² + 7²

BC² = 84

‚ąī BC = 2‚ąö21u

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