En esta sección te enseñaremos cómo se resuelven los problemas del teorema de Pitágoras paso a paso.
Resolveremos ejercicios básicos donde se aplica directamente las fórmulas del teorema de Pitágoras para calcular la hipotenusa, el cateto o la altura de un triángulo equilátero, hasta ciertos problemas que requieren mayor análisis y teoría adicional.
Para pasar a los ejercicios veamos un breve repaso del teorema de Pitágoras:
«En todo triángulo rectángulo el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de cuadrados de los catetos».
Para aplicar el teorema de pitágoras de forma correcta puedes ver el siguiente video de ejemplos:
Estamos seguros que los siguientes ejercicios serán de su agrado y motivo de consulta para problemas similares de aplicaciones del teorema de Pitágoras. ¡Disfrútalo!
Ejercicios Resueltos
Ejercicio 01:
Calcular la longitud de la hipotenusa de la figura mostrada.
Resolución:
Un ejercicio sencillo del teorema de Pitágoras, observe como se realiza.
Se conoce dos lados del triángulo rectángulo y se pide la hipotenusa.
Aplicando el teorema de Pitágoras:
c2 = a2 + b2
Reemplazando valores:
x2 = 52 + 122
x2 = 25 + 144 = 169
⇒ x = 13
∴ La medida de la hipotenusa es 13m.
Ejercicio 02:
Si la hipotenusa de un triángulo rectángulo mide 5m y los catetos son números consecutivos. Halle el perímetro del triángulo.
Resolución:
Paso 1: Graficando el ejercicio, según el enunciado, tenemos:
Sea: «x» número entero positivo.
Para hallar el perímetro del tríangulo rectángulo se requiere conocer el valor de «x».
Paso 2: Aplicamos el teorema de Pitágoras en el triángulo rectángulo.
a2 + b2 = c2
Reemplazando valores:
x2 + (x+1)2 = 52
x2 + x2 + 2x + 1 = 25
2x2 + 2x — 24 = 0
x2 + x — 12 = 0
Paso 3: Factorizando por aspa simple la ecuación cuadrática:
(x + 4)(x -3) = 0
x = -4 o x = 3
Se toma: x = 3, por ser positivo.
Los catetos son: 3m y 4m
⇒ El perímetro del triángulo rectángulo es: 3 + 4 + 5 = 12
∴ Perímetro del Δ rectángulo = 12m
Ejercicio 03:
Una palmera de 17 metros de altura se encuentra sujeta por dos cables de 21m y 25m respectivamente. En la figura se pide calcular la distancia AB.
Resolución:
Paso 1: El gráfico del problema, podemos reducirlo a lo siguiente:
Paso 2:
AB = x = r + s ….(1)
Note además que la altura CP divide al triángulo ACB en dos triángulos rectángulos.
Paso 3:
ΔAPC: aplicamos el teorema de Pitágoras:
a2 + b2 = c2
r2 + 172 = 212
r2 = 212 – 172
⇒ r = 12.33m
ΔBPC: aplicamos el teorema de Pitágoras:
a2 + b2 = c2
s2 + 172 = 252
s2 = 252 – 172
⇒ s = 18.33m
Reemplazando «r» y «s» en (1):
⇒ x = 12.33m + 18.33m
∴ La distancia AB es 30.66m
Ejercicio 04:
Calcular la altura de un triángulo equilátero, sabiendo que su lado es 4cm.
Resolución:
Paso 1: Sea el triángulo equilátero ABC, graficamos:
Se observa:
BM = «H», lo que piden calcular.
Paso 2: Aplicamos propiedad del triángulo equilátero.
«En todo triángulo equilátero la altura también es mediana».
⇒ AM = MC = 2cm
Paso 3: Buscamos el triángulo rectángulo para aplicar el teorema de Pitágoras.
En el triángulo rectángulo BMC:
a2 + b2 = c2
H2 + 22 = 42
H2 = 16 — 4 = 12
⇒ H = 2 √3 cm
Georgia apostille, Florida apostille, Birth certificate apostille..
∴ La altura del triángulo es: 2 √3 cm
Ejercicio 05:
Desde la parte más alta de un faro de 50m de altura se observa un bote a una distancia de 130m. Se pide hallar la distancia desde el pie del faro hacía el bote.
Resolución:
Paso 1: Graficamos del enunciado:
Con los datos del problema, se resalta el triángulo rectángulo ABC.
Piden la longitud del lado BC = «x».
Paso 2: En el triángulo rectángulo ABC tenemos dos lados conocidos. Entonces aplicamos el teorema de Pitágoras.
Sería:²
a2 + b2 = c2
502 + x2 = 1302
x2 = 1302 – 502
⇒ x = 120 m
∴ La distancia desde el pie del faro al bote es: 120m
Ejercicio 06:
En la figura se muestra una escalera que está apoyada hacía una pared. Se pide calcular el perímetro del triángulo rectángulo que se forma.
Resolución:
Paso 1: Del gráfico tenemos:
Perímetro del triángulo = 3a + 6 ….(1)
Paso 2: En el triángulo rectángulo aplicamos el teorema de pitágoras y desarrollamos la ecuación para encontrar el valor de «a». Veamos:
a2 + (2a)2 = 62
a2 + 4a2 = 62
5a2 = 62
⇒ a = 6√5/5 m = 2.68m
Reemplazando «a» en (1):
⇒ Perímetro del triángulo es = 3(2.68) + 6
∴ El perímetro del triángulo rectángulo es: 14.05m
Ejercicio 07:
Calcular el lado de un cuadrado inscrito en una circunferencia de 4cm de radio.
Resolución:
Realizamos el gráfico:
Luego de trazar la diagonal del cuadrado AC, vemos que los lados del cuadrado (x) se encuentra en el triángulo rectángulo ACD.
Aplicando el teorema de Pitágoras:
82 = x2 + x2
x2 = 32 = 16 x 2
⇒ x = 4√2 cm
∴ x = 4√2 cm
Observe en el siguiente video la solución de este ejercicio sino quedo claro.
Ejercicio 08:
Una escalera de bomberos de 14,5 metros de longitud se apoya en la fachada de un edificio, poniendo el pie de la escalera a 10 metros del edificio. ¿Qué altura, en metros, alcanza la escalera?
Resolución:
Bosquejando el ejercicio, tenemos:
Al apoyarse la escalera en el edificio, se forma un triángulo rectángulo, tal como se muestra en la figura sombreada:
Entonces «x» será la altura que se pide calcular:
Aplicando el teorema de Pitágoras:
x2 = (14.5)2 – (10)2
x2 = 210.25 — 100 = 110.25
⇒ x = 10.5m
∴ x = 10.5m
Ejercicio 09:
En una circunferencia de centro «O», se traza el diámetro AB y una cuerda CD que corta al diámetro en «P». Calcular la distancia del punto «O» al punto medio de CD, siendo AB = 10u y CD 8u.
Resolución:
Graficando según el enunciado, tenemos:
- Piden: OT = x.
- Dato: AB = 10u, entonces el radio de la circunferencia es 5u.
También CD = 8u, entonces TD es 4u por ser «T» punto medio de CD.
Luego, aplicación del teorema de pitágoras en el triángulo rectángulo OTD para calcular «x».
x2 = 52 – 42
x2 = 25 – 16 = 9u
⇒ x = 3
∴ x = 3u
Ejercicio 10:
¿Es posible guardar un tubo delgado de 35 centímetros en una caja con forma cúbica de 20 centímetros de lado, sin que sobresalga nada?
Resolución:
Graficamos la caja cúbica de 20cm de lado.
Para que pueda entrar el tubo delgado en esta caja, éste tiene que ser menor a la longitud de la diagonal del cubo, es decir se debe cumplir:
35cm < x
Calculemos «x».
1ero: En el triángulo rectángulo EHG sde aplica el teorema de Pitágoras:
a² = 20² + 20² ….(1)
Luego, en el triángulo rectángulo AEG (amarillo):
x² = 20² + a² …..(2)
Reemplazando (1) en (2):
⇒ x² = 20² + 20² + 20²
⇒ x = 34.64cm
Por lo tanto, el valor de la diagonal del cubo es menor a 35 cm, por lo que el tubo no entrara en la caja dada.
