Ejercicios del Teorema de Pitágoras
En esta sección te mostramos cómo se resuelven los problemas aplicativos del teorema de Pitágoras paso a paso.
Resolveremos ejercicios básicos donde se aplica directamente las fórmulas del teorema de Pitágoras para calcular la hipotenusa, el cateto ola altura de un triángulo equilátero, hasta ciertos problemas que requieren mayor análisis y teoría adicional.
Estamos seguros que los ejercicios serán de su agrado y motivo de consulta para problemas similares donde se aplique el teorema de Pitágoras.
¡Diviértase!
El teorema de pitágoras indica:
«En todo triángulo rectángulo el cuadrado de la longitud de la hipotenusa es igual a la suma de cuadrados de las longitudes de los catetos».
Ejercicios Resueltos
Ejercicio 01:
De la figura mostrada, calcular la longitud de la hipotenusa.
Resolución:
Este ejercicio es sencillo, observe cómo se realiza.
Se conoce dos lados del triángulo rectángulo y se pide la hipotenusa.
Aplicamos el teorema de Pitágoras:
c2= a2+ b2
Reemplazando valores:
x2= 52+ 122
x2= 25 + 144 = 169
⇒ x = 13
∴ La medida de la hipotenusa es 13m.
Ejercicio 02:
Si la hipotenusa de un triángulo rectángulo mide 5m y los catetos son números consecutivos. Halle el perímetro del triángulo rectángulo.
Resolución:
Paso 1:Graficando el ejercicio, según el enunciado, tenemos:
Sea: «x» número entero positivo.
Para hallar el perímetro del tríangulo rectángulo se requiere conocer el valor de «x».
Paso 2:Aplicamos el teorema de Pitágoras en el triángulo rectángulo.
a2+ b2= c2
Reemplazando valores:
x2+ (x+1)2= 52
x2+ x2+ 2x + 1 = 25
2x2+ 2x – 24 = 0
x2+ x – 12 = 0
Paso 3:Factorizando por aspa simple la ecuación cuadrática:
(x + 4)(x -3) = 0
x = -4 o x = 3
Se toma: x = 3, por ser positivo.
Los catetos son: 3m y 4m
El perímetro del triángulo rectángulo es: 3 + 4 + 5 = 12m
Ejercicio 03:
Una palmera de 17 metros de altura se encuentra sujeta por dos cables de 21m y 25m respectivamente. En la figura se pide calcular la distancia AB.
Resolución:
Paso 1:El gráfico del problema, podemos reducirlo a lo siguiente:
Paso 2: Sea AB:x = r + s….(1).
Nótese además que:
La altura CP divide al triángulo ACB en dos triángulos rectángulos.
Paso 3:
ΔAPC: aplicamos el teorema de Pitágoras:
a2+ b2= c2
r2+ 172= 212
r2= 212– 172
⇒ r = 12.33m
ΔBPC: aplicamos el teorema de Pitágoras:
a2+ b2= c2
s2+ 172= 252
s2= 252– 172
⇒ s = 18.33m
Reemplazando «r» y «s» en (1):
⇒ x = 12.33m + 18.33m
La distancia AB es 30.66m
Ejercicio 04:
Calcular la altura de un triángulo equilátero, sabiendo que su lado es 4cm.
Resolución:
Paso 1: Sea el triángulo equilátero ABC, graficamos:
Se observa: BM = «H», lo que piden calcular.
Paso 2: Aplicamos propiedad deltriángulo equilátero.
«En todo triángulo equilátero la altura también es mediana».
⇒ AM = MC = 2cm
Paso 3:Buscamos eltriángulo rectángulodonde aplicar elteorema de Pitágoras.
En el triángulo rectángulo BMC:
a2+ b2= c2
H2+ 22= 42
H2= 16 – 4 = 12
⇒ H = 2 √3 cm
∴ La altura del triángulo es: 2 √3 cm
Ejercicio 05:
Desde la parte más alta de un faro de 50m de altura se observa un bote a una distancia de 130m. Se pide hallar la distancia desde el pie del faro hacía el bote.
Resolución:
Paso 1:Graficamos del enunciado:
Con los datos del problema, se resalta el triángulo rectángulo ABC.
Piden la longitud del lado BC = «x».
Paso 2:En el triángulo rectángulo ABC tenemos dos lados conocidos. Entonces aplicamos el teorema de Pitágoras.
Sería:²
a2+ b2= c2
502+ x2= 1302
x2= 1302– 502
⇒ x = 120 m
∴La distancia desde el pie del faro al bote es: 120m
Ejercicio 06:
En la figura se muestra una escalera que está apoyada hacía una pared. Se pide calcular el perímetro del triángulo rectángulo que se forma.
Resolución:
Paso 1:Del gráfico tenemos:
Perímetro del triángulo= a + 2a + 6 ….(1)
Paso 2:En el triángulo rectángulo aplicamos el teorema de pitágoras y desarrollamos la ecuación para encontrar el valor de «a». Veamos:
a2 + (2a)2= 62
a2+ 4a2= 62
5a2= 62
⇒a = 6√5/5 m = 2.68m
Reemplazando «a» en(1):
⇒ Perímetro del triángulo es = 3(2.68) + 6
∴ El perímetro del triángulo rectángulo es: 14.05m
Ejercicio 07:
Calcular el lado de un cuadrado inscrito en una circunferencia de 4cm de radio.
Resolución:
Realizamos el gráfico:
Luego de trazar la diagonal del cuadrado AC, vemos que los lados del cuadrado (x) se encuentra en el triángulo rectángulo ACD.
Aplicando el teorema de Pitágoras:
82 = x2+ x2
x2= 32 = 16 x 2
⇒ x = 4√2 cm
∴ x = 4√2 cm
Ejercicio 08:
Una escalera de bomberos de 14,5 metros de longitud se apoya en la fachada de un edificio, poniendo el pie de la escalera a 10 metros del edificio. ¿Qué altura, en metros, alcanza la escalera?
Resolución:
Bosquejando el ejercicio, tenemos:
Al apoyarse la escalera en el edificio, se forma un triángulo rectángulo, tal como se muestra en la figura sombreada:
Entonces «x» será la altura que se pide calcular:
Aplicando el teorema de Pitágoras:
x2 = (14.5)2– (10)2
x2= 210.25 – 100 = 110.25
⇒ x = 10.5m
∴ x = 10.5m
Ejercicio 09:
En una circunferencia de centro «O», se traza el diámetro AB y una cuerda CD que corta al diámetro en «P». Calcular la distancia del punto «O» al punto medio de CD, siendo AB = 10u y CD 8u.
Resolución:
Graficando según el enunciado, tenemos:
- Piden: OT = x.
- Dato: AB = 10u, entonces el radio de la circunferencia es 5u.
También CD = 8u, entonces TD es 4u por ser «T» punto medio de CD.
Luego, en el triángulo rectángulo OTD aplicamos el teorema de pitágoras para calcular «x».
x2 = 52– 42
x2= 25 – 16 = 9u
⇒ x = 3
∴ x = 3u
Ejercicio 10:
¿Es posible guardar un tubo delgado de 35 centímetros en una caja con forma cúbica de 20centímetros de lado, sin que sobresalga nada?
Resolución:
Graficamos la caja cúbica de 20cm de lado.
Para que pueda entrar el tubo delgado en esta caja, éste tiene que ser menor a la longitud de la diagonal del cubo, es decir se debe cumplir:
35cm < x
Calculemos «x».
1ero: En el triángulo rectángulo EHG aplicamos el teorema de Pitágoras:
a² = 20² + 20² . ….(1)
Luego, en el triángulo rectángulo AEG (amarillo):
x² = 20² + a² …..(2)
Reemplazando (1) en (2):
⇒ x² = 20² + 20² + 20²
⇒ x = 34.64cm
Por lo tanto, el valor de la diagonal del cubo es menor a 35 cm, por lo que el tubo no entrara en la caja dada.
Revisión
Ejercicios del Teorema de Pitágoras
Esta Colección de Ejercicios se ha presentado de forma sencilla, para ser entendido por estudiantes de Secundaria y aquellos que quieran profundizar en este importante tema del Teorema de Pitágoras.
Calificación
- Calidad de Ejercicios
- Calidad de Gráficos/Diseño
- Resolución de Ejercicios
- Ayudó al Estudiante
Muy buenos ejercicios, recomiendo esta página
Gracias por difundir tan bonitos problemas, me gusto el razonamiento del ejercicio 10. Saludos desde Tijuana.
Me ayudo muchoooo gracias
Excelentes Ejercicios. Felicitaciones