Teorema de Pit√°goras: Ejercicios Resueltos paso a paso

En esta secci√≥n te ense√Īaremos c√≥mo se resuelven los problemas del teorema de Pit√°goras paso a paso.

Resolveremos ejercicios básicos donde se aplica directamente las fórmulas del teorema de Pitágoras para calcular la hipotenusa, el cateto o la altura de un triángulo equilátero, hasta ciertos problemas que requieren mayor análisis y teoría adicional.

Para pasar a los ejercicios veamos un breve repaso del teorema de Pit√°goras:

¬ęEn todo tri√°ngulo rect√°ngulo el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de cuadrados de los catetos¬Ľ.

El Teorema de Pit√°goras

Estamos seguros que estos 10 ejercicios ser√°n de su agrado y motivo de consulta para problemas similares de aplicaciones del teorema de Pit√°goras. ¬°Disfr√ļtalo!


Ejercicios Resueltos


Ejercicio 01:

Calcular la longitud de la hipotenusa de la figura mostrada.

Ejercicio 01

Resolución:

Un ejercicio del teorema de Pitágoras sencillo, observe cómo se realiza.

Se conoce dos lados del tri√°ngulo rect√°ngulo y se pide la hipotenusa.
Aplicando el teorema de Pit√°goras:

c2 = a2 + b2

Reemplazando valores:

x2 = 52 + 122
x2 = 25 + 144 = 169
‚áí x = 13

‚ąī La medida de¬†la hipotenusa es 13m.


Ejercicio 02:

Si la hipotenusa de un tri√°ngulo rect√°ngulo mide 5m y los catetos son n√ļmeros consecutivos. Halle el per√≠metro del tri√°ngulo rect√°ngulo.

Resolución:

Paso 1:¬†Graficando el ejercicio, seg√ļn el enunciado, tenemos:

Ejercicio 02Sea: ¬ęx¬Ľ n√ļmero entero positivo.
Para hallar el per√≠metro del tr√≠angulo rect√°ngulo se requiere conocer el valor de ¬ęx¬Ľ.

Paso 2:  Aplicamos el teorema de Pitágoras en el triángulo rectángulo.

a2 + b2 = c2

Reemplazando valores:

x2 + (x+1)2 = 52
x2 + x2 + 2x + 1 = 25
2x2 + 2x Р24 = 0
x2 + x Р12 = 0

Paso 3:  Factorizando por aspa simple la ecuación cuadrática:

 (x + 4)(x -3) = 0
x = -4 o x = 3

Se toma: x = 3, por ser positivo.
Los catetos son: 3m y 4m

⇒ El perímetro del triángulo rectángulo es: 3 + 4 + 5 = 12

‚ąī Per√≠metro del őĒ rect√°ngulo = 12m


Ejercicio 03:

Una palmera de 17 metros de altura se encuentra sujeta por dos cables de 21m y 25m respectivamente. En la figura se pide calcular la distancia AB.

Ejercicio 03

Resolución:

Paso 1:  El gráfico del problema, podemos reducirlo a lo siguiente:

Paso 2:

AB = x = r + s ….(1)

Note además que la altura CP divide al triángulo ACB en dos triángulos rectángulos.

Paso 3:

őĒAPC: aplicamos el teorema de Pit√°goras:

a2 + b2 = c2 
r2 + 172 = 212
r2 = 212 Р172
⇒ r = 12.33m

őĒBPC: aplicamos el teorema de Pit√°goras:

a2 + b2 = c2 
s2 + 172 = 252
s2 = 252 Р172
⇒ s = 18.33m

Reemplazando ¬ęr¬Ľ y ¬ęs¬Ľ en (1):

⇒ x = 12.33m + 18.33m

‚ąī¬†La distancia AB es 30.66m


Ejercicio 04:

Calcular la altura de un tri√°ngulo equil√°tero, sabiendo que su lado es 4cm.

Resolución:

Paso 1:  Sea el triángulo equilátero ABC, graficamos:

Resolución ejercicio 04

Se observa:

BM = ¬ęH¬Ľ, lo que piden calcular.

Paso 2:  Aplicamos propiedad del triángulo equilátero.

¬ęEn todo tri√°ngulo equil√°tero la altura tambi√©n es mediana¬Ľ.

‚áí AM = MC = 2cm

Paso 3:  Buscamos el triángulo rectángulo para aplicar el teorema de Pitágoras.

En el tri√°ngulo rect√°ngulo BMC:

a2 + b2 = c2
H2 + 22 = 42
H2 = 16 Р4 = 12
‚áí¬†H = 2 ‚ąö3 cm

‚ąī¬†La altura del tri√°ngulo es: 2 ‚ąö3 cm


Ejercicio 05:

Desde la parte más alta de un faro de 50m de altura se observa un bote a una distancia de 130m. Se pide hallar la distancia desde el pie del faro hacía el bote.

Resolución:

Paso 1: Graficamos del enunciado:

Resolución ejercicio 5

Con los datos del problema, se resalta el tri√°ngulo rect√°ngulo ABC.
Piden la longitud del lado BC = ¬ęx¬Ľ.

Paso 2: En el triángulo rectángulo ABC tenemos dos lados conocidos. Entonces aplicamos el teorema de Pitágoras.
Sería:²

a2 + b2 = c2
502 + x2 = 1302
x2 = 1302 Р502
‚áí x = 120 m

¬†‚ąī¬†La distancia desde el pie del faro al bote es: 120m


Ejercicio 06:

En la figura se muestra una escalera que está apoyada hacía una pared. Se pide calcular el perímetro del triángulo rectángulo que se forma.Ejercicio 06

Resolución:

Paso 1:  Del gráfico tenemos:

Per√≠metro del tri√°ngulo = 3a + 6 ….(1)

Paso 2:¬†¬†En el tri√°ngulo rect√°ngulo aplicamos el teorema de pit√°goras y desarrollamos la ecuaci√≥n para encontrar el valor de ¬ęa¬Ľ. Veamos:

a2  + (2a)2 = 62
a2 + 4a2 = 62
5a2 = 62
‚áí¬†a = 6‚ąö5/5 m = 2.68m

Reemplazando ¬ęa¬Ľ en¬†(1):

⇒ Perímetro del triángulo es = 3(2.68) + 6

‚ąī¬†El per√≠metro del tri√°ngulo rect√°ngulo es: 14.05m


Ejercicio 07:

Calcular el lado de un cuadrado inscrito en una circunferencia de 4cm de radio.

Resolución:

Realizamos el gr√°fico:

Resolución ejercicio 7

Luego de trazar la diagonal del cuadrado AC, vemos que los lados del cuadrado (x) se encuentra en el tri√°ngulo rect√°ngulo ACD.

Aplicando el teorema de Pit√°goras:

82  = x2 + x2
x2 = 32 = 16 x 2
‚áí x = 4‚ąö2 cm

‚ąī x = 4‚ąö2 cm


Ejercicio 08:

Una escalera de bomberos de 14,5 metros de longitud se apoya en la fachada de un edificio, poniendo el pie de la escalera a 10 metros del edificio. ¬ŅQu√© altura, en metros, alcanza la escalera?

Resolución:

Bosquejando el ejercicio, tenemos:Ejercicio 08

Al apoyarse la escalera en el edificio, se forma un tri√°ngulo rect√°ngulo, tal como se muestra en la figura sombreada:

Entonces ¬ęx¬Ľ ser√° la altura que se pide calcular:

Aplicando el teorema de Pit√°goras:

x2  = (14.5)2 Р(10)2
x2 = 210.25 Р100 = 110.25
‚áí x = 10.5m

‚ąī x = 10.5m


Ejercicio 09:

En una circunferencia de centro ¬ęO¬Ľ, se traza el di√°metro AB y una cuerda CD que corta al di√°metro en ¬ęP¬Ľ. Calcular la distancia del punto ¬ęO¬Ľ al punto medio de CD, siendo AB = 10u y CD 8u.

Resolución:

Graficando seg√ļn el enunciado, tenemos:

  • Piden: OT = x.
  • Dato: AB = 10u, entonces el radio de la circunferencia es 5u.

Tambi√©n CD = 8u, entonces TD es 4u por ser ¬ęT¬Ľ punto medio de CD.

Luego, aplicaci√≥n del teorema de pit√°goras en el tri√°ngulo rect√°ngulo OTD para calcular ¬ęx¬Ľ.

x2  = 52 Р42
x2 = 25 Р16 = 9u
‚áí x = 3

‚ąī x = 3u


Ejercicio 10:

¬ŅEs posible guardar un tubo delgado de 35 cent√≠metros en una caja con forma c√ļbica de 20¬†cent√≠metros de lado, sin que sobresalga nada?

Resolución:

Graficamos la caja c√ļbica de 20cm de lado.

Resolución ejercicio 09

Para que pueda entrar el tubo delgado en esta caja, éste tiene que ser menor a la longitud de la diagonal del cubo, es decir se debe cumplir:

35cm < x

Calculemos ¬ęx¬Ľ.

1ero: En el tri√°ngulo rect√°ngulo EHG sde aplica el teorema de Pit√°goras:

a¬≤ = 20¬≤ + 20¬≤¬† ¬†….(1)

Luego, en el tri√°ngulo rect√°ngulo AEG (amarillo):

x¬≤ = 20¬≤ + a¬≤¬† ¬†…..(2)

Reemplazando (1) en (2):

⇒ x² = 20² + 20² + 20²

‚áí x = 34.64cm

Por lo tanto, el valor de la diagonal del cubo es menor a 35 cm, por lo que el tubo no entrara en la caja dada.

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