Ejercicios del Teorema de Pitágoras
En esta sección te mostramos cómo se resuelven los problemas aplicativos al teorema de Pitágoras paso a paso.
Resolveremos ejercicios básicos donde se aplica directamente el teorema de Pitágoras para calcular la hipotenusa, elcateto ola altura de untriángulo equilátero, hasta ciertos problemas que requieren mayor análisis y teoría adicional.
Estamos seguros que los ejercicios serán de su agrado y motivo de consulta para problemas similares donde se aplique el teorema de Pitágoras. ¡Diviértase!
“En todo triángulo rectángulo el cuadrado de la longitud de la hipotenusa es igual a la suma de cuadrados de las longitudes de los catetos”.
Teorema de Pitágoras, Ejercicios Resueltos
Ejercicio 01:
De la figura mostrada, calcular la longitud de la hipotenusa.
Resolución:
Este ejercicio es sencillo, se conoce dos lados deltriángulo rectángulo y se pide la hipotenusa.
Aplicamos el teorema de Pitágoras:
c2= a2+ b2
Reemplazando valores:
x2= 52+ 122
x2= 25 + 144 = 169
∴ x = 13
La medida de la hipotenusa es 13m.
Ejercicio 02:
Si la hipotenusa de un triángulo rectángulo mide 5m y los catetos son números consecutivos. Halle el perímetro del triángulo rectángulo.
Resolución:
Paso 1:Graficando el ejercicio, según el enunciado, tenemos:
Sea: “x” número entero positivo.
Para hallar el perímetro del tríangulo rectángulo se requiere conocer el valor de “x”.
Paso 2:Aplicamos el teorema de Pitágoras en el triángulo rectángulo.
a2+ b2= c2
Reemplazando valores:
x2+ (x+1)2= 52
x2+ x2+ 2x + 1 = 25
2x2+ 2x – 24 = 0
x2+ x – 12 = 0
Paso 3:Factorizando por aspa simple la ecuación cuadrática:
(x + 4)(x -3) = 0
x = -4 o x = 3
Se toma: x = 3, por ser positivo.
Los catetos son: 3m y 4m
El perímetro del triángulo rectángulo es: 3 + 4 + 5 = 12m
Ejemplo 03:
Una palmera de 17 metros de altura se encuentra sujeta por dos cables de 21m y 25m respectivamente. En la figura se pide calcular la distancia AB.
Resolución:
Paso 1:El gráfico del problema, podemos reducirlo a lo siguiente:
Paso 2:Sea AB:x = r + s….(1).
Nótese además que:
La altura CP divide al triángulo ACB en dos triángulos rectángulos.
Paso 3:
ΔAPC: aplicamos el teorema de Pitágoras:
a2+ b2= c2
r2+ 172= 212
r2= 212– 172
⇒ r = 12.33m
ΔBPC: aplicamos el teorema de Pitágoras:
a2+ b2= c2
s2+ 172= 252
s2= 252– 172
⇒ s = 18.33m
Reemplazando “r” y “s” en (1):
⇒ x = 12.33m + 18.33m
La distancia AB es 30.66m
Ejercicio 04:
Calcular la altura de un triángulo equilátero, sabiendo que su lado es 4cm.
Resolución:
Paso 1: Graficamos del enunciado y colocamos los datos apropiadamente (ver figura adjunta).
Se observa: BM = “H”, lo que piden calcular.
Paso 2: Aplicamos propiedad deltriángulo equilátero.
“En todo triángulo equilátero la altura también es mediana”.
⇒ AM = MC = 2cm
Paso 3:Buscamos eltriángulo rectángulodonde aplicar elteorema de Pitágoras. Escojemos el triángulo BMC y escríbimos:
a2+ b2= c2
H2+ 22= 42
H2= 16 – 4 = 12
⇒ H = 2 √3 cm
∴ La altura del triángulo es: 2 √3 cm
Ejercicio 05:
Desde la parte más alta de un faro de 50m de altura se observa un bote a una distancia de 130m. Se pide hallar la distancia desde el pie del faro hacía el bote.
Resolución:
Paso 1:Graficamos del enunciado:
Con los datos del problema, se resalta el triángulo rectángulo ABC.
Piden la longitud del lado BC = “x”
Paso 2:En el triángulo rectángulo ABC tenemos dos lados conocidos. Entonces aplicamos el teorema de Pitágoras.
Sería:
a2+ b2= c2
502+ x2= 1302
x2= 1302– 502
⇒ x = 120 m
∴La distancia desde el pie del faro al bote es: 120m
Ejercicio 06:
En la figura se muestra una escalera que está apoyada hacía una pared. Se pide calcular el perímetro del triángulo rectángulo que se forma.
Resolución:
Paso 1:Del gráfico tenemos:
Perímetro del triángulo= a + 2a + 6 ….(1)
Paso 2:En el triángulo rectángulo aplicamos el teorema de pitágoras y desarrollamos la ecuación para encontrar el valor de “a”. Veamos:
a2 + (2a)2= 62
a2+ 4a2= 62
5a2= 62
⇒a = 6√5/5 m = 2.68m
Reemplazando “a” en(1):
⇒ Perímetro del triángulo es = 3(2.68) + 6
Luego, el perímetro del triángulo rectángulo es: 14.05m
Ejercicio 07:
En una circunferencia de centro “O”, se traza el diámetro AB y una cuerda CD que corta al diámetro en “P”. Calcular la distancia del punto “O” al punto medio de CD, siendo AB = 10u y CD 8u.
Resolución:
Graficando según el enunciado, tenemos:
- Piden: OT = x.
- Dato: AB = 10u, entonces el radio de la circunferencia es 5u.
También CD = 8u, entonces TD es 4u por ser “T” punto medio de CD.
Luego, en el triángulo rectángulo OTD aplicamos el teorema de pitágoras para calcular “x”.
x2 = 52– 42
x2= 25 – 16 = 9u
⇒ x = 3
∴ x = 3u
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