Teorema de Pitágoras: Ejercicios Resueltos paso a paso

En esta sección te enseñaremos cómo se resuelven los problemas del teorema de Pitágoras paso a paso.

Resolveremos ejercicios básicos donde se aplica directamente las fórmulas del teorema de Pitágoras para calcular la hipotenusa, el cateto o la altura de un triángulo equilátero, hasta ciertos problemas que requieren mayor análisis y teoría adicional.

Para pasar a los ejercicios veamos un breve repaso del teorema de Pitágoras:

«En todo triángulo rectángulo el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de cuadrados de los catetos».

Estamos seguros que estos 10 ejercicios serán de su agrado y motivo de consulta para problemas similares de aplicaciones del teorema de Pitágoras. ¡Disfrútalo!

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Ejercicios Resueltos

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Ejercicio 01:

Calcular la longitud de la hipotenusa de la figura mostrada.

Resolución:

Un ejercicio sencillo del teorema de Pitágoras, observe como se realiza.

Se conoce dos lados del triángulo rectángulo y se pide la hipotenusa.
Aplicando el teorema de Pitágoras:

c² = a² + b²

Reemplazando valores:

x² = 5² + 12²
x² = 25 + 144 = 169
⇒ x = 13

∴ La medida de la hipotenusa es 13m.

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Ejercicio 02:

Si la hipotenusa de un triángulo rectángulo mide 5m y los catetos son números consecutivos. Halle el perímetro del triángulo.

Resolución:

Paso 1: Graficando el ejercicio, según el enunciado, tenemos:

Sea: «x» número entero positivo.
Para hallar el perímetro del tríangulo rectángulo se requiere conocer el valor de «x».

Paso 2:  Aplicamos el teorema de Pitágoras en el triángulo rectángulo.

a² + b² = c²

Reemplazando valores:

x² + (x+1)² = 5²
x² + x² + 2x + 1 = 25
2x² + 2x – 24 = 0
x² + x – 12 = 0

Paso 3:  Factorizando por aspa simple la ecuación cuadrática:

 (x + 4)(x -3) = 0
x = -4 o x = 3

Se toma: x = 3, por ser positivo.
Los catetos son: 3m y 4m

⇒ El perímetro del triángulo rectángulo es: 3 + 4 + 5 = 12

∴ Perímetro del Δ rectángulo = 12m

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Ejercicio 03:

Una palmera de 17 metros de altura se encuentra sujeta por dos cables de 21m y 25m respectivamente. En la figura se pide calcular la distancia AB.

Resolución:

Paso 1:  El gráfico del problema, podemos reducirlo a lo siguiente:

Paso 2:

AB = x = r + s ….(1)

Note además que la altura CP divide al triángulo ACB en dos triángulos rectángulos.

Paso 3:

ΔAPC: aplicamos el teorema de Pitágoras:

a² + b² = c² 
r² + 17² = 21²
r² = 21² – 17²
⇒ r = 12.33m

ΔBPC: aplicamos el teorema de Pitágoras:

a² + b² = c² 
s² + 17² = 25²
s² = 25² – 17²
⇒ s = 18.33m

Reemplazando «r» y «s» en (1):

⇒ x = 12.33m + 18.33m

∴ La distancia AB es 30.66m

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Ejercicio 04:

Calcular la altura de un triángulo equilátero, sabiendo que su lado es 4cm.

Resolución:

Paso 1:  Sea el triángulo equilátero ABC, graficamos:

Se observa:

BM = «H», lo que piden calcular.

Paso 2:  Aplicamos propiedad del triángulo equilátero.

«En todo triángulo equilátero la altura también es mediana».

⇒ AM = MC = 2cm

Paso 3:  Buscamos el triángulo rectángulo para aplicar el teorema de Pitágoras.

En el triángulo rectángulo BMC:

a² + b² = c²
H² + 2² = 4²
H² = 16 – 4 = 12
⇒ H = 2 √3 cm

∴ La altura del triángulo es: 2 √3 cm

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Ejercicio 05:

Desde la parte más alta de un faro de 50m de altura se observa un bote a una distancia de 130m. Se pide hallar la distancia desde el pie del faro hacía el bote.

Resolución:

Paso 1: Graficamos del enunciado:

Con los datos del problema, se resalta el triángulo rectángulo ABC.
Piden la longitud del lado BC = «x».

Paso 2: En el triángulo rectángulo ABC tenemos dos lados conocidos. Entonces aplicamos el teorema de Pitágoras.
Sería:²

a² + b² = c²
50² + x² = 130²
x² = 130² – 50²
⇒ x = 120 m

 ∴ La distancia desde el pie del faro al bote es: 120m

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Ejercicio 06:

En la figura se muestra una escalera que está apoyada hacía una pared. Se pide calcular el perímetro del triángulo rectángulo que se forma.

Resolución:

Paso 1:  Del gráfico tenemos:

Perímetro del triángulo = 3a + 6 ….(1)

Paso 2:  En el triángulo rectángulo aplicamos el teorema de pitágoras y desarrollamos la ecuación para encontrar el valor de «a». Veamos:

a²  + (2a)² = 6²
a² + 4a² = 6²
5a² = 6²
⇒ a = 6√5/5 m = 2.68m

Reemplazando «a» en (1):

⇒ Perímetro del triángulo es = 3(2.68) + 6

∴ El perímetro del triángulo rectángulo es: 14.05m

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Ejercicio 07:

Calcular el lado de un cuadrado inscrito en una circunferencia de 4cm de radio.

Resolución:

Realizamos el gráfico:

Luego de trazar la diagonal del cuadrado AC, vemos que los lados del cuadrado (x) se encuentra en el triángulo rectángulo ACD.

Aplicando el teorema de Pitágoras:

8²  = x² + x²
x² = 32 = 16 x 2
⇒ x = 4√2 cm

∴ x = 4√2 cm

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Ejercicio 08:

Una escalera de bomberos de 14,5 metros de longitud se apoya en la fachada de un edificio, poniendo el pie de la escalera a 10 metros del edificio. ¿Qué altura, en metros, alcanza la escalera?

Resolución:

Bosquejando el ejercicio, tenemos:

Al apoyarse la escalera en el edificio, se forma un triángulo rectángulo, tal como se muestra en la figura sombreada:

Entonces «x» será la altura que se pide calcular:

Aplicando el teorema de Pitágoras:

x²  = (14.5)² – (10)²
x² = 210.25 – 100 = 110.25
⇒ x = 10.5m

∴ x = 10.5m

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Ejercicio 09:

En una circunferencia de centro «O», se traza el diámetro AB y una cuerda CD que corta al diámetro en «P». Calcular la distancia del punto «O» al punto medio de CD, siendo AB = 10u y CD 8u.

Resolución:

Graficando según el enunciado, tenemos:

• Piden: OT = x.
• Dato: AB = 10u, entonces el radio de la circunferencia es 5u.

También CD = 8u, entonces TD es 4u por ser «T» punto medio de CD.

Luego, aplicación del teorema de pitágoras en el triángulo rectángulo OTD para calcular «x».

x²  = 5² – 4²
x² = 25 – 16 = 9u
⇒ x = 3

∴ x = 3u

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Ejercicio 10:

¿Es posible guardar un tubo delgado de 35 centímetros en una caja con forma cúbica de 20 centímetros de lado, sin que sobresalga nada?

Resolución:

Graficamos la caja cúbica de 20cm de lado.

Para que pueda entrar el tubo delgado en esta caja, éste tiene que ser menor a la longitud de la diagonal del cubo, es decir se debe cumplir:

35cm < x

Calculemos «x».

1ero: En el triángulo rectángulo EHG sde aplica el teorema de Pitágoras:

a² = 20² + 20²   ….(1)

Luego, en el triángulo rectángulo AEG (amarillo):

x² = 20² + a²   …..(2)

Reemplazando (1) en (2):

⇒ x² = 20² + 20² + 20²

⇒ x = 34.64cm

Por lo tanto, el valor de la diagonal del cubo es menor a 35 cm, por lo que el tubo no entrara en la caja dada.