En esta sección te enseñaremos cómo se resuelven los problemas del teorema de Pitágoras paso a paso.
Resolveremos ejercicios básicos donde se aplica directamente las fórmulas del teorema de Pitágoras para calcular la hipotenusa, el cateto o la altura de un triángulo equilátero, hasta ciertos problemas que requieren mayor análisis y teoría adicional.
Para pasar a los ejercicios veamos un breve repaso del teorema de Pitágoras:
«En todo triángulo rectángulo el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de cuadrados de los catetos».
Para aplicar el teorema de pitágoras de forma correcta puedes ver el siguiente video de ejemplos:
Estamos seguros que los siguientes ejercicios serán de su agrado y motivo de consulta para problemas similares de aplicaciones del teorema de Pitágoras. ¡Disfrútalo!
Ejercicios Resueltos
Ejercicio 01:
Calcular la longitud de la hipotenusa de la figura mostrada.
Resolución:
Un ejercicio sencillo del teorema de Pitágoras, observe como se realiza.
Se conoce dos lados del triángulo rectángulo y se pide la hipotenusa.
Aplicando el teorema de Pitágoras:
c2 = a2 + b2
Reemplazando valores:
x2 = 52 + 122
x2 = 25 + 144 = 169
⇒ x = 13
∴ La medida de la hipotenusa es 13m.
Ejercicio 02:
Si la hipotenusa de un triángulo rectángulo mide 5m y los catetos son números consecutivos. Halle el perímetro del triángulo.
Resolución:
Paso 1: Graficando el ejercicio, según el enunciado, tenemos:
Sea: «x» número entero positivo.
Para hallar el perímetro del tríangulo rectángulo se requiere conocer el valor de «x».
Paso 2: Aplicamos el teorema de Pitágoras en el triángulo rectángulo.
a2 + b2 = c2
Reemplazando valores:
x2 + (x+1)2 = 52
x2 + x2 + 2x + 1 = 25
2x2 + 2x – 24 = 0
x2 + x – 12 = 0
Paso 3: Factorizando por aspa simple la ecuación cuadrática:
(x + 4)(x -3) = 0
x = -4 o x = 3
Se toma: x = 3, por ser positivo.
Los catetos son: 3m y 4m
⇒ El perímetro del triángulo rectángulo es: 3 + 4 + 5 = 12
∴ Perímetro del Δ rectángulo = 12m
Ejercicio 03:
Una palmera de 17 metros de altura se encuentra sujeta por dos cables de 21m y 25m respectivamente. En la figura se pide calcular la distancia AB.
Resolución:
Paso 1: El gráfico del problema, podemos reducirlo a lo siguiente:
Paso 2:
AB = x = r + s ….(1)
Note además que la altura CP divide al triángulo ACB en dos triángulos rectángulos.
Paso 3:
ΔAPC: aplicamos el teorema de Pitágoras:
a2 + b2 = c2
r2 + 172 = 212
r2 = 212 – 172
⇒ r = 12.33m
ΔBPC: aplicamos el teorema de Pitágoras:
a2 + b2 = c2
s2 + 172 = 252
s2 = 252 – 172
⇒ s = 18.33m
Reemplazando «r» y «s» en (1):
⇒ x = 12.33m + 18.33m
∴ La distancia AB es 30.66m
Ejercicio 04:
Calcular la altura de un triángulo equilátero, sabiendo que su lado es 4cm.
Resolución:
Paso 1: Sea el triángulo equilátero ABC, graficamos:
Se observa:
BM = «H», lo que piden calcular.
Paso 2: Aplicamos propiedad del triángulo equilátero.
«En todo triángulo equilátero la altura también es mediana».
⇒ AM = MC = 2cm
Paso 3: Buscamos el triángulo rectángulo para aplicar el teorema de Pitágoras.
En el triángulo rectángulo BMC:
a2 + b2 = c2
H2 + 22 = 42
H2 = 16 – 4 = 12
⇒ H = 2 √3 cm
∴ La altura del triángulo es: 2 √3 cm
Ejercicio 05:
Desde la parte más alta de un faro de 50m de altura se observa un bote a una distancia de 130m. Se pide hallar la distancia desde el pie del faro hacía el bote.
Resolución:
Paso 1: Graficamos del enunciado:
Con los datos del problema, se resalta el triángulo rectángulo ABC.
Piden la longitud del lado BC = «x».
Paso 2: En el triángulo rectángulo ABC tenemos dos lados conocidos. Entonces aplicamos el teorema de Pitágoras.
Sería:²
a2 + b2 = c2
502 + x2 = 1302
x2 = 1302 – 502
⇒ x = 120 m
∴ La distancia desde el pie del faro al bote es: 120m
Ejercicio 06:
En la figura se muestra una escalera que está apoyada hacía una pared. Se pide calcular el perímetro del triángulo rectángulo que se forma.
Resolución:
Paso 1: Del gráfico tenemos:
Perímetro del triángulo = 3a + 6 ….(1)
Paso 2: En el triángulo rectángulo aplicamos el teorema de pitágoras y desarrollamos la ecuación para encontrar el valor de «a». Veamos:
a2 + (2a)2 = 62
a2 + 4a2 = 62
5a2 = 62
⇒ a = 6√5/5 m = 2.68m
Reemplazando «a» en (1):
⇒ Perímetro del triángulo es = 3(2.68) + 6
∴ El perímetro del triángulo rectángulo es: 14.05m
Ejercicio 07:
Calcular el lado de un cuadrado inscrito en una circunferencia de 4cm de radio.
Resolución:
Realizamos el gráfico:
Luego de trazar la diagonal del cuadrado AC, vemos que los lados del cuadrado (x) se encuentra en el triángulo rectángulo ACD.
Aplicando el teorema de Pitágoras:
82 = x2 + x2
x2 = 32 = 16 x 2
⇒ x = 4√2 cm
∴ x = 4√2 cm
Observe en el siguiente video la solución de este ejercicio sino quedo claro.
Ejercicio 08:
Una escalera de bomberos de 14,5 metros de longitud se apoya en la fachada de un edificio, poniendo el pie de la escalera a 10 metros del edificio. ¿Qué altura, en metros, alcanza la escalera?
Resolución:
Bosquejando el ejercicio, tenemos:
Al apoyarse la escalera en el edificio, se forma un triángulo rectángulo, tal como se muestra en la figura sombreada:
Entonces «x» será la altura que se pide calcular:
Aplicando el teorema de Pitágoras:
x2 = (14.5)2 – (10)2
x2 = 210.25 – 100 = 110.25
⇒ x = 10.5m
∴ x = 10.5m
Ejercicio 09:
En una circunferencia de centro «O», se traza el diámetro AB y una cuerda CD que corta al diámetro en «P». Calcular la distancia del punto «O» al punto medio de CD, siendo AB = 10u y CD 8u.
Resolución:
Graficando según el enunciado, tenemos:
- Piden: OT = x.
- Dato: AB = 10u, entonces el radio de la circunferencia es 5u.
También CD = 8u, entonces TD es 4u por ser «T» punto medio de CD.
Luego, aplicación del teorema de pitágoras en el triángulo rectángulo OTD para calcular «x».
x2 = 52 – 42
x2 = 25 – 16 = 9u
⇒ x = 3
∴ x = 3u
Ejercicio 10:
¿Es posible guardar un tubo delgado de 35 centímetros en una caja con forma cúbica de 20 centímetros de lado, sin que sobresalga nada?
Resolución:
Graficamos la caja cúbica de 20cm de lado.
Para que pueda entrar el tubo delgado en esta caja, éste tiene que ser menor a la longitud de la diagonal del cubo, es decir se debe cumplir:
35cm < x
Calculemos «x».
1ero: En el triángulo rectángulo EHG sde aplica el teorema de Pitágoras:
a² = 20² + 20² ….(1)
Luego, en el triángulo rectángulo AEG (amarillo):
x² = 20² + a² …..(2)
Reemplazando (1) en (2):
⇒ x² = 20² + 20² + 20²
⇒ x = 34.64cm
Por lo tanto, el valor de la diagonal del cubo es menor a 35 cm, por lo que el tubo no entrara en la caja dada.
Muy buenos ejercicios, recomiendo esta página
Gracias por difundir tan bonitos problemas, me gusto el razonamiento del ejercicio 10. Saludos desde Tijuana.
Me ayudo muchoooo gracias
Excelentes Ejercicios. Felicitaciones
Excelentísimo
Excelente muy útil y fácil de entender.
Muchas gracias por tu aportación. Feliz semana.
Agradezco al autor de este artículo, sirve para nosotros los docentes y muchísimo más a los estudiantes.
Muchas gracias me ayudo mucho
Muy buenos ejercicios ¡¡¡ gracias por compartir
La longitud de uno de los catetos de un triángulo rectángulo es 3 unidades mayor que la longitud del otro cateto y el perímetro del triángulo es 36. Calcular la longitud de los lados del triángulo.
Muchas gracias por los ejercicios, excelente trabajo me ha ayudado mucho.
Que tal página, un beso a los creadores.