Demostración del teorema de Pitágoras por Áreas

El Teorema de Pitágoras  es uno de los teoremas que más demostraciones tiene, aquí te presentamos una demostración geométrica muy sencilla aplicando áreas de regiones planas.

La demostración se realizará paso a paso para que pueda ser entendido fácilmente, sin embargo es necesario que se tenga conocimientos de geometría plana.

Esperamos que esta información sea de gran utilidad. ¡Tome nota!

Desmostración del Teorema de Pitágoras

Para esta demostración consideramos el triángulo rectángulo ABC, recto en «B».

Del triángulo rectángulo ABC se construye el cuadrado BPQR

La idea consistirá en realizar las prolongaciones de BA y BC para formar el cuadrado BPQR de lado (a+b) tal como se muestra en la figura.

Área de un cuadrado: Recuerde que el área de un cuadrado es igual a la [base].[Altura]

Entonces área del cuadrado BPQR es:

       (a+b).(a+b) = (a+b)2

También es igual a: 4S1 + S2

      ⇒ (a+b)2 = 4S1 + S2 ….. (1)

Donde:

  • S1: Área de la región tríangular. Se han formado 4 veces S1 (sombreado de verde) debido a la congruencia.
  • S2: Área de la región cuadrangular AMNC (es un cuadrado).

Calculando: S1 y S2.

» En el triángulo ABC:

S1 = (Base x Altura)/2 = ab/2…..(2)

» El cuadrado AMNC tiene lado: “c”.
Entonces su área será:

S2 = c…..(3)

Luego se reemplaza (2) y (3) en (1) tenemos:

(a+b)2 = 4S1 + S2
(a+b)2 = 4(ab/2) + c2
a+ b+ 2ab = 2ab + c

∴ a2 + b2 = c2

Queda demostrado el teorema de Pitágoras por áreas.

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